Свойства графа

 

 Решая задачу про кенигсбергские мосты, Эйлер установил, в частности, свойства графа:

1. Если все вершины графа четные, то можно одним росчерком ( т.е. не отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды по одной и той же линии ) начертить граф. При этом движение можно начать с любой вершины и окончить в той же вершине. 
 

2. Граф с двумя нечетными вершинами тоже можно начертить одним росчерком. Движение нужно начинать от любой нечетной вершины, а заканчивать на другой нечетной вершине.

3. Граф с более чем двумя нечетными вершинами невозможно начертить одним росчерком.

4. Число нечетных вершин графа всегда четное.
 

5. Если в графе имеются нечетные вершины, то наименьшее число росчерков, которыми можно нарисовать граф будет равно половине числа нечетных вершин этого графа.

 Например, если фигура имеет четыре нечетные, то её можно начертить, самое меньшее, двумя росчерками.

 В задаче о семи кенигсбергских мостах все четыре вершины соответствующего графа нечетные, т.е. нельзя пройти по всем мостам один раз и закончить путь там, где он был начат. 

 Термин «граф» впервые ввел в 1936 году венгерский математик Денеш Кениг. Широкое развитие теория графов получила с 50-х годах 20 века в связи со становлением кибернетики и развитием вычислительной техники.