Задачи на графы в информатике

Задача №1.

На рисунке – схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город Ж?

Решение:

Каждой вершине, начиная с начальной (A), поставим в соответствие индекс, равный количеству путей, которыми можно попасть в эту вершину. Для вершины A (начало пути) индекс всегда равен 1 (в начало пути можно попасть единственным образом – никуда не двигаясь). Теперь сформулируем правило: индекс вершины равен сумме индексов его предков. Исходя из этого индекс Б равен 1 (предок у Б один – вершина A).

У вершины Д предками являются А и Б, значит индекс вершины Д равен 1+1=2.

Очевидно, что мы можем посчитать индекс только тех вершин, индексы предков которых уже посчитаны. Например, мы не можем посчитать индекс Г, пока не посчитан индекс В. Двигаясь последовательно, мы рассчитаем индексы всех вершин.
Индекс вершины Ж и будет ответом задачи.

 

Ответ: 11

Задача №2.

Можно ли нарисовать графы, изображенные на рисунках, не отрывая карандаш от бумаги и проводя каждое ребро ровно один раз? 

Решение:

1)  Можно, т. к. только 2 нечетные вершины.

2)  Нельзя, т. к. 4 нечетные вершины.

Задача №3. Муха в банке.

Муха забралась в банку из-под сахара. Банка имеет форму куба. Сможет ли муха последовательно обойти все 12 ребер куба, не проходя дважды по одному ребру? Подпрыгивать и перелетать с места на место не разрешается. 

Решение:

Ребра и вершины образуют граф, все 8 вершин которого имеют 3 степень, и, следовательно, требуемый обход невозможен.